Aplicación 2.3: Inferencia estadística

Modelo CAPM para las acciones del Banco Santander

En esta aplicación se estimará una versión simple del modelo CAPM para las acciones del Banco Santander:

\[erSAN_{t} = \beta_{1} + \beta_{2}\, erIBEX_{t} + e_{t}\]

donde \(erSAN\) representa el exceso de rendimiento de las acciones del Banco Santander, definido como la diferencia entre la rentabilidad de las acciones del banco y la rentabilidad de un activo libre de riesgo, en nuestro caso las letras del tesoro, y \(erIBEX\) es el exceso de rendimiento del mercado, representado por el índice IBEX35 de la bolsa española.

Como ejercicio, se pueden repetir todos los cálculos de la aplicación para analizar las empresas Telefónica e Inditex, cuyos datos están contenidos en el fichero usado en la aplicación.

Code

# Lectura de librerías
library(tidyverse)
# Lectura de datos
CAPM_ESP <- read_delim("data/CAPM_ESP.csv", delim = ";")
head(CAPM_ESP)

# A tibble: 6 × 6
  date       P_INDITEX P_SANTANDER P_TELEFONICA P_IBEX35 R_LT1Y
  <date>         <dbl>       <dbl>        <dbl>    <dbl>  <dbl>
1 2001-05-22      2.94        6.55        14.1     9543.   4.54
2 2001-06-22      3.75        6.26        11.5     9602.   4.25
3 2001-07-22      3.61        5.76        10.5     8788.   4.12
4 2001-08-22      3.86        5.81         9.81    8565.   4.09
5 2001-09-22      3.06        4.08         8.67    8117.   3.84
6 2001-10-22      3.88        5.32        10.0     7169.   3.28

Code

tail(CAPM_ESP)

# A tibble: 6 × 6
  date       P_INDITEX P_SANTANDER P_TELEFONICA P_IBEX35 R_LT1Y
  <date>         <dbl>       <dbl>        <dbl>    <dbl>  <dbl>
1 2017-08-22      33.7        5.44         9.16   10658.  -0.41
2 2017-09-22      31.9        5.70         9.05   10180.  -0.37
3 2017-10-22      31.0        5.6          8.86   10215.  -0.35
4 2017-11-22      29.3        5.50         8.50   10358.  -0.38
5 2017-12-22      29.6        5.59         8.26   10211.  -0.37
6 2018-01-22      28.7        6.03         8.42   10411.  -0.48

Code

# Transformación de variables
CAPM_ESP$r_SAN = c(NA,100*diff(log(CAPM_ESP$P_SANTANDER)))
CAPM_ESP$r_IBEX = c(NA,100*diff(log(CAPM_ESP$P_IBEX35)))
CAPM_ESP$r_LT1Y = CAPM_ESP$R_LT1Y/12
CAPM_ESP$er_SAN = CAPM_ESP$r_SAN - CAPM_ESP$r_LT1Y
CAPM_ESP$er_IBEX = CAPM_ESP$r_IBEX - CAPM_ESP$r_LT1Y
# Formato de series temporales
ts_CAPM_ESP <- ts(CAPM_ESP, 
                  start = c(2001,5), 
                  end = c(2018,1), 
                  frequency = 12)
# Algunas gráficas de las variables básicas del modelo
ts.plot(ts_CAPM_ESP[,"P_IBEX35"])

Code

ts.plot(ts_CAPM_ESP[,"P_SANTANDER"])

Code

ts.plot(ts_CAPM_ESP[,"er_SAN"],ts_CAPM_ESP[,"er_IBEX"])

Code

# Modelo CAPM para las acciones del Banco Santander 
CAPM_SANTANDER  <-  lm(er_SAN ~ er_IBEX, data = ts_CAPM_ESP)
summary(CAPM_SANTANDER)


Call:
lm(formula = er_SAN ~ er_IBEX, data = ts_CAPM_ESP)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-33.114  -3.816   0.342   4.659  32.331 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  -0.1461     0.6464  -0.226    0.821    
er_IBEX       0.4632     0.1016   4.558 9.03e-06 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 9.14 on 198 degrees of freedom
  (1 observation deleted due to missingness)
Multiple R-squared:  0.09496,   Adjusted R-squared:  0.09039 
F-statistic: 20.77 on 1 and 198 DF,  p-value: 9.03e-06

Code

# Intervalos de confianza para los parámetros estructurales del modelo
# Cálculo de forma 'manual'
alpha <- 0.05
df <- df.residual(CAPM_SANTANDER) # grados de libertad
t_c <- qt(1-alpha/2, df)
b1 <- coef(CAPM_SANTANDER)[[1]] # estimación del parámetro beta1
b1

[1] -0.1461435

Code

seb1 <- sqrt(vcov(CAPM_SANTANDER)[1,1]) # est. desviación típica beta1
seb1

[1] 0.6463839

Code

inf_b1 <- b1-t_c*seb1 # cota inferior
sup_b1 <- b1+t_c*seb1 # cota superior
inf_b1 ; sup_b1

[1] -1.420824

[1] 1.128537

Code

b2 <- coef(CAPM_SANTANDER)[[2]] # estimación del parámetro beta2
b2

[1] 0.4632261

Code

seb2 <- sqrt(vcov(CAPM_SANTANDER)[2,2]) # est. desviación típica beta2
seb2

[1] 0.1016302

Code

inf_b2 <- b2-t_c*seb2 # cota inferior
sup_b2 <- b2+t_c*seb2 # cota superior
inf_b2 ; sup_b2

[1] 0.2628095

[1] 0.6636427

Code

# Cálculo automático
confint(CAPM_SANTANDER)

                 2.5 %    97.5 %
(Intercept) -1.4208239 1.1285369
er_IBEX      0.2628095 0.6636427

Code

# Ajuste del modelo (R^2) y ANOVA
s_CAPM_SANTANDER <- summary(CAPM_SANTANDER)
print(s_CAPM_SANTANDER)


Call:
lm(formula = er_SAN ~ er_IBEX, data = ts_CAPM_ESP)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-33.114  -3.816   0.342   4.659  32.331 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  -0.1461     0.6464  -0.226    0.821    
er_IBEX       0.4632     0.1016   4.558 9.03e-06 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 9.14 on 198 degrees of freedom
  (1 observation deleted due to missingness)
Multiple R-squared:  0.09496,   Adjusted R-squared:  0.09039 
F-statistic: 20.77 on 1 and 198 DF,  p-value: 9.03e-06

Code

names(s_CAPM_SANTANDER)

 [1] "call"          "terms"         "residuals"     "coefficients" 
 [5] "aliased"       "sigma"         "df"            "r.squared"    
 [9] "adj.r.squared" "fstatistic"    "cov.unscaled"  "na.action"

Code

R2 <- s_CAPM_SANTANDER$r.squared
R2

[1] 0.0949604

Code

anova(CAPM_SANTANDER)

Analysis of Variance Table

Response: er_SAN
           Df  Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
er_IBEX     1  1735.4 1735.45  20.775 9.03e-06 ***
Residuals 198 16540.0   83.54                     
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Code

# Número de obsevaciones
T <- nobs(CAPM_SANTANDER)
T

[1] 200

Code

# Número de parámetros
K <- T-df
K

[1] 2

Code

# Estadístico F de significación global
F_0 <- (R2/(K-1))/((1-R2)/(T-K))
F_0

[1] 20.77496

Code

# Residuos del modelo
res <- s_CAPM_SANTANDER$residuals
res <- ts(res, start=c(2001,5), end = c(2018,1), frequency = 12)
plot(res)

Code

# Histograma de los residuos y comparación con la distribución normal
ehat <- resid(CAPM_SANTANDER)
ebar <- mean(ehat)
sdehat <- sd(ehat)
hist(ehat, col="grey", breaks = 20, freq=FALSE, main="", 
     ylab="density", xlab="ehat")
curve(dnorm(x, ebar, sdehat), col=2, add=TRUE, ylab="density", xlab="ehat")

Code

# Contrastes de hipótesis bilaterales
#
# "Valor alfa" del activo: beta1=0 versus beta1≠0
# Estadístico t
alpha <- 0.05 # nivel de significación
b1 <- coef(CAPM_SANTANDER)[[1]] # estimación del parámetro beta1
b1

[1] -0.1461435

Code

seb1 <- sqrt(vcov(CAPM_SANTANDER)[1,1]) # est. desviación típica beta1
seb1

[1] 0.6463839

Code

c <- 0
df <- df.residual(CAPM_SANTANDER) # grados de libertad
t_0 <- (b1-c)/seb1 # estadístico t
t_0

[1] -0.2260939

Code

# Método del valor crítico
t_c <- qt(1-alpha/2, df) # valor crítico
t_c

[1] 1.972017

Code

# Gráfico de la función de densidad de la distribución t de Student, 
# del valor crítico y del estadístico t_0
curve(dt(x, df), -5, 5, ylab=" ", xlab="t")
abline(v=c(-t_c, t_c, t_0), col=c("red", "red", "blue"), lty=c(2,2,3))
legend("topleft", legend=c("-t_c", "t_c", "t_0"), 
       col=c("red", "red", "blue"), lty=c(2, 2, 3))

Code

# Método del P-valor
p <- 2*(1-pt(abs(t_0), df))
p

[1] 0.8213616

Code

# Gráfico de la función de densidad de la distribución t y del estadístico t_0
curve(dt(x, df), -5, 5, ylab=" ", xlab="t")
abline(v=c(t_0), col=c("blue"), lty=c(3))
legend("topleft", legend=c("t_0"), col=c("blue"), lty=c(3))

Code

# Estadístico F
library(car)
H_0 <- "(Intercept) = 0"
linearHypothesis(CAPM_SANTANDER, H_0, test="F")


Linear hypothesis test:
(Intercept) = 0

Model 1: restricted model
Model 2: er_SAN ~ er_IBEX

  Res.Df   RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)
1    199 16544                           
2    198 16540  1    4.2702 0.0511 0.8214

Code

# Gráfico de la función de densidad de la distribución F de Fisher-Snedecor, 
# del valor crítico y del estadístico F_0
F_0 <- linearHypothesis(CAPM_SANTANDER, H_0, test="F")[2,5] # estadístico F
F_0

[1] 0.05111845

Code

F_c <- qf(1-alpha, 1, df) # valor crítico
F_c

[1] 3.888853

Code

curve(df(x, 1, df), 0, 5, ylab=" ", xlab="F")
abline(v=c(F_0,F_c), col=c("blue","red"), lty=c(2,3))
legend("topleft", legend=c("F","Fcr"), col=c("blue","red"), lty=c(2,3))

Code

# "Valor beta" del activo: beta2=1 versus beta2≠1
# Estadístico t
alpha <- 0.05 # nivel de significación
b2 <- coef(CAPM_SANTANDER)[[2]] # estimación del parámetro beta2
b2

[1] 0.4632261

Code

seb2 <- sqrt(vcov(CAPM_SANTANDER)[2,2]) # est. desviación típica beta2
seb2

[1] 0.1016302

Code

c <- 1
df <- df.residual(CAPM_SANTANDER) # grados de libertad
t_0 <- (b2-c)/seb2 # estadístico t
t_0

[1] -5.281636

Code

# Método del valor crítico
t_c <- qt(1-alpha/2, df) # valor crítico
t_c

[1] 1.972017

Code

# Gráfico de la función de densidad de la distribución t, del valor crítico 
# y del estadístico t_0
curve(dt(x, df), -6, 6, ylab=" ", xlab="t")
abline(v=c(-t_c, t_c, t_0), col=c("red", "red", "blue"), lty=c(2,2,3))
legend("topleft", legend=c("-t_c", "t_c", "t_0"), 
       col=c("red", "red", "blue"), lty=c(2, 2, 3))

Code

# Método del P-valor
p <- 2*(1-pt(abs(t_0), df))
p

[1] 3.357104e-07

Code

# Gráfico de la función de densidad de la distribución t y del estadístico t_0
curve(dt(x, df), -6, 6, ylab=" ", xlab="t")
abline(v=c(t_0), col=c("blue"), lty=c(3))
legend("topleft", legend=c("t_0"), col=c("blue"), lty=c(3))

Code

# Estadístico F
H_0 <- "er_IBEX = 1"
linearHypothesis(CAPM_SANTANDER,H_0,test="F")


Linear hypothesis test:
er_IBEX = 1

Model 1: restricted model
Model 2: er_SAN ~ er_IBEX

  Res.Df   RSS Df Sum of Sq      F    Pr(>F)    
1    199 18870                                  
2    198 16540  1    2330.3 27.896 3.357e-07 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Code

# Contraste conjunto de la hipótesis beta1=0, beta2=1
H_0 <- c("(Intercept) = 0", "er_IBEX = 1")
linearHypothesis(CAPM_SANTANDER,H_0,test="F")


Linear hypothesis test:
(Intercept) = 0
er_IBEX = 1

Model 1: restricted model
Model 2: er_SAN ~ er_IBEX

  Res.Df   RSS Df Sum of Sq      F    Pr(>F)    
1    200 18872                                  
2    198 16540  2    2331.7 13.956 2.136e-06 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Code

# Contrastes unilaterales
#
# ¿Activo defensivo o agresivo?: beta2≤1 versus beta2>1
c <- 1
alpha <- 0.05
t_0 <- (b2-c)/seb2
t_0

[1] -5.281636

Code

# Método del valor crítico
t_c <- qt(1-alpha, df) # alpha no se divide por 2
t_c

[1] 1.652586

Code

curve(dt(x, df), -6, 6, ylab=" ", xlab="t")
abline(v=c(t_c, t_0), col=c("red", "blue"), lty=c(2, 3))
legend("topleft", legend=c("t_c", "t_0"), col=c("red", "blue"), lty=c(2, 3))

Code

# Método del P-valor
p <- 1-pt(t_0, df)
p

[1] 0.9999998

Code

# ¿Activo ultra-agresivo?: beta2≥2 versus beta2<2
c <- 2
alpha <- 0.05
t_0 <- (b2-c)/seb2
t_0

[1] -15.12123

Code

# Método del valor crítico
t_c <- qt(alpha, df) # alpha no se divide por 2
t_c

[1] -1.652586

Code

curve(dt(x, df), -20, 20, ylab=" ", xlab="t")
abline(v=c(t_c, t_0), col=c("red", "blue"), lty=c(2, 3))
legend("topleft", legend=c("t_c", "t_0"), col=c("red", "blue"), lty=c(2, 3))

Code

# Método del P-valor
p <- pt(t_0, df)
p

[1] 3.786304e-35

Code

# NOTA:
# Distribuciones de probabilidad en R ->
# https://rstudio.github.io/r-manuals/r-intro/Probability-distributions.html

Code

# Lectura de librerías
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf
# Librería SciPy (stats): https://docs.scipy.org/doc/scipy/tutorial/stats.html
import scipy as sp 
# Lectura de datos
CAPM_ESP = pd.read_csv('data/CAPM_ESP.csv', delimiter=';', 
parse_dates=['date'], index_col='date')
CAPM_ESP.head()

            P_INDITEX  P_SANTANDER  P_TELEFONICA  P_IBEX35  R_LT1Y
date                                                              
2001-05-22      2.940       6.5528       14.1485    9542.7    4.54
2001-06-22      3.746       6.2643       11.4884    9601.8    4.25
2001-07-22      3.610       5.7639       10.4938    8787.6    4.12
2001-08-22      3.860       5.8110        9.8076    8564.7    4.09
2001-09-22      3.060       4.0801        8.6741    8117.3    3.84

Code

CAPM_ESP.tail()

            P_INDITEX  P_SANTANDER  P_TELEFONICA  P_IBEX35  R_LT1Y
date                                                              
2017-09-22     31.905       5.6989         9.047   10179.8   -0.37
2017-10-22     30.990       5.6000         8.864   10214.7   -0.35
2017-11-22     29.280       5.4970         8.497   10357.8   -0.38
2017-12-22     29.615       5.5940         8.255   10211.3   -0.37
2018-01-22     28.720       6.0340         8.417   10411.4   -0.48

Code

# Transformación de variables
def LogDiff(x):
    x_diff = 100*np.log(x/x.shift(1))
    return x_diff
CAPM_ESP['r_IBEX'] = LogDiff(CAPM_ESP['P_IBEX35'])
CAPM_ESP['r_SAN'] = LogDiff(CAPM_ESP['P_SANTANDER'])
CAPM_ESP['r_LT1Y'] = CAPM_ESP['R_LT1Y']/12
CAPM_ESP['er_IBEX'] = LogDiff(CAPM_ESP['P_IBEX35']) - CAPM_ESP['R_LT1Y']/12
CAPM_ESP['er_SAN'] = LogDiff(CAPM_ESP['P_SANTANDER']) - CAPM_ESP['R_LT1Y']/12
# Gráficas de las variables del modelo
plt.figure(1)
plt.plot(CAPM_ESP['er_IBEX'], label='Exceso de rendimiento IBEX35')
plt.plot(CAPM_ESP['er_SAN'], label='Exceso de rendimiento Banco Santander')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('%')
plt.title('Variables del modelo CAPM para el Banco Santander')
plt.legend()
plt.show()

Code

# Diagrama de puntos asociado a la regresión
plt.figure(2)
plt.scatter(CAPM_ESP['er_IBEX'], CAPM_ESP['er_SAN'])
plt.xlabel('er_IBEX')
plt.ylabel('er_SAN')
plt.title('Exceso de rendimiento de SAN frente a IBEX')
plt.show()

Code

# Modelo CAPM para las acciones del Banco Santander
formula = 'er_SAN ~ er_IBEX'
CAPM_SANTANDER = smf.ols(formula, CAPM_ESP).fit()
print(CAPM_SANTANDER.summary())

                            OLS Regression Results                            
==============================================================================
Dep. Variable:                 er_SAN   R-squared:                       0.095
Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  0.090
Method:                 Least Squares   F-statistic:                     20.77
Date:                Sun, 09 Feb 2025   Prob (F-statistic):           9.03e-06
Time:                        13:11:35   Log-Likelihood:                -725.31
No. Observations:                 200   AIC:                             1455.
Df Residuals:                     198   BIC:                             1461.
Df Model:                           1                                         
Covariance Type:            nonrobust                                         
==============================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
Intercept     -0.1461      0.646     -0.226      0.821      -1.421       1.129
er_IBEX        0.4632      0.102      4.558      0.000       0.263       0.664
==============================================================================
Omnibus:                       23.804   Durbin-Watson:                   2.378
Prob(Omnibus):                  0.000   Jarque-Bera (JB):               82.551
Skew:                          -0.352   Prob(JB):                     1.19e-18
Kurtosis:                       6.068   Cond. No.                         6.36
==============================================================================

Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.

Code

# Intervalos de confianza para los parámetros estructurales del modelo
# Automático
CAPM_SANTANDER.conf_int()

                  0         1
Intercept -1.420824  1.128537
er_IBEX    0.262809  0.663643

Code

# Manualmente
t_c = np.array(sp.stats.t.interval(0.95,CAPM_SANTANDER.df_resid))
CAPM_SANTANDER.params[0]+CAPM_SANTANDER.bse[0]*t_c

array([-1.42082387,  1.12853695])

Code

CAPM_SANTANDER.params[1]+CAPM_SANTANDER.bse[1]*t_c

array([0.26280949, 0.66364269])

Code

# ANOVA
sm.stats.anova_lm(CAPM_SANTANDER)

             df        sum_sq      mean_sq          F    PR(>F)
er_IBEX     1.0   1735.445734  1735.445734  20.774958  0.000009
Residual  198.0  16540.021306    83.535461        NaN       NaN

Code

# Ajuste del modelo (R^2)
CAPM_SANTANDER.rsquared

0.09496040403004358

Code

# Estadístico F de significación global
CAPM_SANTANDER.fvalue, CAPM_SANTANDER.f_pvalue

(20.774958445655425, 9.0300657558589e-06)

Code

# Estadístico F y R^2
F_0 = (CAPM_SANTANDER.rsquared/(CAPM_SANTANDER.df_model))/((1-CAPM_SANTANDER.rsquared)/(CAPM_SANTANDER.df_resid))
F_0, 1-sp.stats.f.cdf(F_0, CAPM_SANTANDER.df_model, CAPM_SANTANDER.df_resid)

(20.774958445655436, 9.030065755810668e-06)

Code

# Número de obsevaciones
CAPM_SANTANDER.nobs

200.0

Code

# Número de parámetros
1+CAPM_SANTANDER.df_model

2.0

Code

# Errores estimados (residuos) del modelo
plt.figure(3)
plt.plot(CAPM_SANTANDER.resid, label='res')
plt.xlabel('Date')
plt.title('Residuos del modelo CAPM para el Banco Santander')
plt.legend()
plt.show()

Code

# Histograma de los residuos y comparación con la distribución normal
ebar = np.mean(CAPM_SANTANDER.resid)
sdehat = np.std(CAPM_SANTANDER.resid)
plt.figure(4)
fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(CAPM_SANTANDER.resid, bins=20, density=True, 
edgecolor='white', linewidth=1.2)
x = np.linspace(min(CAPM_SANTANDER.resid), max(CAPM_SANTANDER.resid), 100)
ax.plot(x, sp.stats.norm.pdf(x, ebar, sdehat), color='black', 
label = 'Distribución normal')
plt.title('Residuos del modelo CAPM para el Banco Santander')
plt.xlabel('Residuos')
plt.ylabel('Densidad')
plt.legend(loc='best')
plt.tight_layout()
plt.show()

Code

# Contrastes de hipótesis bilaterales
# beta1=0 versus beta1≠0
# Estadístico t
t_stat = (CAPM_SANTANDER.params['Intercept']-0)/CAPM_SANTANDER.bse['Intercept']
t_stat, 2*sp.stats.t.cdf(t_stat, CAPM_SANTANDER.df_resid)

(-0.22609389919232573, 0.8213616110920402)

Code

# Estadístico F y P-valor
H_0 = 'Intercept = 0'
F_0 = CAPM_SANTANDER.f_test(H_0)
print(F_0)

<F test: F=0.05111845125198955, p=0.8213616110920228, df_denom=198, df_num=1>

Code

# beta2=1 versus beta2≠1
# Estadístico t y P-valor
t_0 = (CAPM_SANTANDER.params['er_IBEX']-1)/CAPM_SANTANDER.bse['er_IBEX']
t_0, 2*(1-sp.stats.t.cdf(abs(t_0), CAPM_SANTANDER.df_resid))

(-5.281635967748109, 3.3571043878133366e-07)

Code

# Estadístico F y P-valor
H_0 = 'er_IBEX = 1'
F_0 = CAPM_SANTANDER.f_test(H_0)
print(F_0)

<F test: F=27.895678495810504, p=3.357104388598483e-07, df_denom=198, df_num=1>

Code

# Contraste conjunto de la hipótesis beta1=0, beta2=1
# Estadístico F y P-valor
H_0 = 'Intercept = 0 , er_IBEX = 1'
F_0 = CAPM_SANTANDER.f_test(H_0)
print(F_0)

<F test: F=13.956448346309095, p=2.1364485558886642e-06, df_denom=198, df_num=2>

Code

# Contrastes unilaterales
# beta2≤1 versus beta2>1
# Estadístico t y P-valor
t_0 = (CAPM_SANTANDER.params['er_IBEX']-1)/CAPM_SANTANDER.bse['er_IBEX']
t_0, 1-sp.stats.t.cdf(t_0, CAPM_SANTANDER.df_resid)

(-5.281635967748109, 0.9999998321447806)

Code

# beta2≥2 versus beta2<2
# Estadístico t y P-valor
t_0 = (CAPM_SANTANDER.params['er_IBEX']-2)/CAPM_SANTANDER.bse['er_IBEX']
t_0, sp.stats.t.cdf(t_0, CAPM_SANTANDER.df_resid)

(-15.121227447088602, 3.786304271337718e-35)

Code

# NOTA:
# Distribuciones de probabilidad en Python (librería SciPy) ->
# https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/stats.html